Guía docente de la asignatura
(7292) GEOMETRÍA DE CURVAS Y SUPERFICIES

Curso académico 2026/2027

  1. Identificación

    1. De la asignatura

      Curso Académico
      2026/2027
      Titulación
      GRADO EN MATEMÁTICAS
      PROGRAMA ACADÉMICO DE SIMULTANEIDAD DE DOBLE TITULACIÓN CON ITINERARIO ESPECIFICO DE GRADO EN MATEMÁTICAS Y GRADO EN INGENIERÍA INFORMÁTICA
      PROGRAMA ACADÉMICO DE SIMULTANEIDAD DE DOBLE TITULACIÓN CON ITINERARIO ESPECÍFICO DE GRADO EN MATEMÁTICAS Y GRADO EN FÍSICA
      Nombre de la asignatura
      GEOMETRÍA DE CURVAS Y SUPERFICIES
      Código
      7292
      Curso
      TERCERO
      QUINTO
      TERCERO
      Carácter
      OBLIGATORIA
      Número de grupos
      3
      Créditos ECTS
      6.0
      Estimación del volumen de trabajo
      150.0
      150.0
      150.0
      Organización temporal
      1º Cuatrimestre
      1º Cuatrimestre
      1º Cuatrimestre
      Idiomas en que se imparte
      Español
      Curso Académico 2026/2027
      Titulación

      GRADO EN MATEMÁTICAS,

      PROGRAMA ACADÉMICO DE SIMULTANEIDAD DE DOBLE TITULACIÓN CON ITINERARIO ESPECIFICO DE GRADO EN MATEMÁTICAS Y GRADO EN INGENIERÍA INFORMÁTICA,

      PROGRAMA ACADÉMICO DE SIMULTANEIDAD DE DOBLE TITULACIÓN CON ITINERARIO ESPECÍFICO DE GRADO EN MATEMÁTICAS Y GRADO EN FÍSICA

      Nombre de la asignatura GEOMETRÍA DE CURVAS Y SUPERFICIES
      Código 7292
      Curso TERCERO QUINTO TERCERO
      Carácter OBLIGATORIA
      Número de grupos 3
      Créditos ECTS 6.0
      Estimación del volumen de trabajo 150.0 150.0 150.0
      Organización temporal 1º Cuatrimestre 1º Cuatrimestre 1º Cuatrimestre
      Idiomas en que se imparte Español
    2. Del profesorado: Equipo docente

      • HERNANDEZ CIFRE, MARIA ANGELES Docente: GRUPO 1, GRUPO DTIE Coordinación de los grupos: GRUPO 1, GRUPO DTIE Coordinador de la asignatura

        Categoría

        CATEDRATICOS DE UNIVERSIDAD

        Área

        GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA

        Departamento

        MATEMÁTICAS

        Correo electrónico / Página web / Tutoría electrónica

        mhcifre@um.es webs.um.es/mhcifre/ Tutoría electrónica: Sí

        Teléfono, horario y lugar de atención al alumnado

        Duración:
        A
        Día:
        Martes
        Horario:
        12:00-14:00
        Lugar:
        868887661, Facultad de Matemáticas y Aulario General B1.0.035
        Observaciones:
        No consta
        Duración:
        A
        Día:
        Miércoles
        Horario:
        12:00-13:00
        Lugar:
        868887661, Facultad de Matemáticas y Aulario General B1.0.035
        Observaciones:
        No consta
      • ALIAS LINARES, LUIS JOSE Docente: GRUPO DTIE Coordinación de los grupos: GRUPO DTIE

        Categoría

        CATEDRATICOS DE UNIVERSIDAD

        Área

        GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA

        Departamento

        MATEMÁTICAS

        Correo electrónico / Página web / Tutoría electrónica

        ljalias@um.es https://webs.um.es/ljalias Tutoría electrónica: Sí

        Teléfono, horario y lugar de atención al alumnado

        Duración:
        A
        Día:
        Miércoles
        Horario:
        15:00-17:00
        Lugar:
        (Sin Extensión), Facultad de Matemáticas y Aulario General B1.0.039
        Observaciones:
        Despacho 0.09 o por videoconferencia. Solicitar previamente por mensaje al Aula Virtual
        Duración:
        A
        Día:
        Jueves
        Horario:
        12:00-13:00
        Lugar:
        (Sin Extensión), Facultad de Matemáticas y Aulario General B1.0.039
        Observaciones:
        Despacho 0.09 o por videconferencia. Solicitar previamente por mensaje al Aula Virtual
  2. Presentación

    Esta asignatura está dedicada al estudio de la geometría diferencial de curvas y superficies. La historia de la Geometría Diferencial comienza con las curvas: conceptos tales como la tangente a una curva se remontan a Euclides, Arquímedes o Apolonio. Es el propio Euclides quien, en la definición 5 de su famosa obra Elementos, introduce la noción de superficie: "una superficie es aquello que sólo tiene longitud y anchura", estableciendo así la idea esencial de que una superficie es un objeto 2-dimensional, es decir, que puede describirse utilizando dos variables independientes. Sin embargo, se podría decir que fueron Euler y Gauss quienes fundaron la teoría de superficies en el espacio tridimensional.

    Esta asignatura es el primer contacto que el estudiante tiene con la geometría diferencial, y será importante una buena comprensión de los contenidos que aquí se introducen para poder abordar el resto de asignaturas de geometría diferencial, tanto de carácter obligatorio como optativo, en su caso.

  3. Condiciones de acceso a la asignatura

    1. Incompatibilidades

      No constan

    2. Requisitos

      No constan

    3. Recomendaciones

      Son necesarios conocimientos de álgebra lineal, cálculo en varias variables y topología.

  4. Contenidos

    1. Teoría

      Tema 1: Curvas en el plano y en el espacio

      1. Preliminares: curvas parametrizadas; longitud de arco; curvas regulares; parametrización por la longitud de arco.
      2. Teoría local de curvas planas: diedro de Frenet; curvatura con signo; fórmulas de Frenet; teorema fundamental de la teoría local de curvas planas; comparación de una curva con la recta tangente en un punto; comparación de dos curvas tangentes en un punto.
      3. Teoría local de curvas en el espacio: triedro de Frenet; curvatura y torsión; fórmulas de Frenet; teorema fundamental de la teoría local de curvas.

      Tema 2: Superficies regulares

      1. Preliminares: concepto de superficie regular; superficies de nivel; cambios de coordenadas.
      2. Diferenciabilidad: funciones diferenciables definidas sobre una superficie y propiedades; aplicaciones diferenciables entre dos superficies y propiedades; difeomorfismos entre superficies.
      3. El plano tangente: curvas diferenciables en una superficie; definición de vector tangente; el plano tangente a una superficie en un punto; la primera forma fundamental.
      4. La diferencial: la diferencial de una función diferenciable y propiedades; el gradiente de una función diferenciable; puntos críticos; test de la primera derivada para puntos críticos; la diferencial de una aplicación diferenciable entre superficies y propiedades; la regla de la cadena; el teorema de la función inversa.

      Tema 3: Curvatura de una superficie

      1. Orientación de superficies: campos de vectores sobre una superficie; superficies orientables; sentido de rotación en una superficie orientada; estructura compleja; bases positivamente orientadas y bases negativamente orientadas.
      2. La segunda forma fundamental: la aplicación de Gauss de una superficie orientada; imagen esférica; el operador forma o endomorfismo de Weingarten y propiedades; la segunda forma fundamental; curvas asintóticas.
      3. Curvaturas normales: aceleración de una curva en una superficie; aceleración intrínseca y aceleración extrínseca, propiedades; curvatura normal; secciones normales; relación entre la curvatura normal y la curvatura de la sección normal.
      4. Curvaturas principales: curvaturas principales y direcciones principales asociadas; la fórmula de Euler; líneas de curvatura.
      5. Curvatura de Gauss y curvatura media: la curvatura de Gauss y la curvatura media; puntos umbilicales; interpretación geométrica; expresión local de las curvaturas de Gauss y media; superficies totalmente umbilicales; caracterización de las superficies totalmente umbilicales.

      Tema 4: Teorema Egregium de Gauss

      1. Isometrías: longitud de una curva y primera forma fundamental; isometrías locales; isometrías globales.
      2. Fórmulas de Gauss y de Weingarten: expresión local; los símbolos de Christoffel; la fórmula de Gauss; la fórmula de Weingarten.
      3. Las ecuaciones de compatibilidad y el teorema de Gauss: la ecuación de Mainardi-Codazzi; la ecuación de Gauss; el teorema Egregium de Gauss; isometrías y curvatura de Gauss.
      4. El teorema fundamental de la teoría de superficies: el teorema de Bonnet.

    2. Prácticas

      No constan

  5. Actividades Formativas

    Actividad Formativa Metodología Horas Presencialidad
    AF1: Exposición teórico-práctica 34.0 100.0
    AF2: Resolución de ejercicios y problemas en grupo completo 5.0 100.0
    AF3: Resolución de ejercicios y problemas en grupos reducidos 15.0 100.0
    AF8: Trabajo autónomo del estudiante 90.0 0.0
    AF10: Realización de pruebas de evaluación 6.0 100.0
    Totales 150,00

  6. Horario de la asignatura

    https://www.um.es/web/estudios/grados/matematicas/2026-27#horarios

  7. Sistemas de Evaluación

    Identificador Denominación del instrumento de evaluación Criterios de Valoración Ponderación
    SE1 Examen global teórico-práctico

    Criterios generales:

    1. Precisión y corrección del lenguaje.

    2. Claridad, coherencia y orden de los razonamientos.

    3. Conocimiento y manejo de los diferentes conceptos y resultados utilizados.

    4. Precisa correlación entre dichos conceptos y resultados.

    5. Correcta resolución de las cuestiones planteadas.

    Criterios específicos:

    Se indicarán en cada prueba escrita.

    Véase el apartado "Observaciones y recomendaciones" para una explicación detallada sobre el cálculo de la nota final.

    90.0
    SE3 Valoración del progreso

    Criterios generales:

    1. Precisión y corrección del lenguaje.

    2. Claridad, coherencia y orden de los razonamientos.

    3. Conocimiento y manejo de los diferentes conceptos y resultados utilizados.

    4. Precisa correlación entre dichos conceptos y resultados.

    5. Correcta resolución de las cuestiones planteadas.

    Criterios específicos:

    Se indicarán en cada caso.

    Véase el apartado "Observaciones y recomendaciones" para una explicación detallada sobre el cálculo de la nota final.

    10.0

  8. Fechas de exámenes

    https://www.um.es/web/estudios/grados/matematicas/2026-27#examenes

  9. Resultados del Aprendizaje

    • RA01 (): Utilizar con rigor el lenguaje matemático con el fin de desarrollar argumentos lógicos.
    • RA02 (): Comunicar correctamente, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos e ideas matemáticas.
    • RA03 (): Entender demostraciones de teoremas de forma autónoma.
    • RA04 (): Comprobar con demostraciones o refutar con contraejemplos propiedades de objetos matemáticos.
    • RA05 (): Desarrollar una actitud (auto)crítica ante los razonamientos matemáticos, en particular identificando errores en razonamientos que son incorrectos.
    • RA06 (): Resolver problemas y cuestiones prácticas del ámbito de las matemáticas aplicando los conocimientos teóricos.
    • RA16 (): Conocer los fundamentos teóricos de la geometría diferencial y convexa.
    • RA17 (): Aplicar los conocimientos de geometría diferencial y convexa a la resolución de problemas.

  10. Bibliografía

  11. Observaciones

    NECESIDADES EDUCATIVAS ESPECIALES

    Aquellos estudiantes con discapacidad o necesidades educativas especiales podrán dirigirse al Servicio de Atención a la Diversidad y Voluntariado (ADYV - https://www.um.es/adyv) para recibir orientación sobre un mejor aprovechamiento de su proceso formativo y, en su caso, la adopción de medidas de equiparación y de mejora para la inclusión, en virtud de la Resolución Rectoral R-358/2016. El tratamiento de la información sobre este alumnado, en cumplimiento con la LOPD, es de estricta confidencialidad.

    EVALUACIÓN

    En el procedimiento de evaluación resultarán de aplicación el artículo 135.1.v) de los Estatutos de la Universidad de Murcia, el artículo 8.6 del Reglamento de Evaluación de Estudiantes (REVA) y la instrucción SG 18/2026 del secretario general de la Universidad de Murcia que interpreta estas normas, disponible en este enlace: https://sede.um.es/sede/documento/normativa/instruccion-del-secretario-general-sg-18-2026-sobre-la-interpretacion-y-aplicacion-del-art-135-1-v-estatutos-umu/24199.pdf

    Se recuerda asimismo que el artículo 22.1 del Reglamento de Evaluación de Estudiantes (REVA) estipula que "el o la estudiante que se valga de conductas fraudulentas, incluida la indebida atribución de identidad o autoría, o esté en posesión de medios o instrumentos que faciliten dichas conductas, obtendrá la calificación de cero en el procedimiento de evaluación y, en su caso, podrá ser objeto de sanción, previa apertura de expediente disciplinario".

    OBSERVACIONES DEL EQUIPO DOCENTE

    CÁLCULO DE LA NOTA FINAL

    La asignatura será evaluada en los términos indicados en el apartado Evaluación. En la convocatoria ordinaria (Convocatoria I) la nota correspondiente a "SE3 - Valoración del progreso" (NVP) será el máximo entre la obtenida en los test/talleres/tareas realizados a lo largo del curso y la obtenida en una prueba específica que tendrá lugar el día del examen final y que evaluará las competencias correspondientes. La calificación de la asignatura, en esta y en todas las convocatorias, se calculará mediante la fórmula 0,9xNE+0,1xNVP, siendo NE la nota del examen final.

    En las restantes convocatorias (Convocatorias II y III) el/la estudiante podrá conservar su nota NVP o solicitar que las competencias correspondientes se vuelvan a evaluar el día del examen. Para ello deberá solicitarlo, como máximo, 7 días antes de la realización del examen, por correo electrónico, o a través de mensaje en el AV, al profesor responsable. En caso de no hacerlo, se entenderá que mantiene su nota NVP.

    CONTENIDOS Y RESULTADOS DE APRENDIZAJE ESPECÍFICOS:

    La ficha de esta asignatura en la memoria verificada del título incluye:

    - La siguiente lista de contenidos: "Curvas. Superficies regulares. Aplicaciones diferenciables entre superficies. La primera y segunda formas fundamentales. Curvaturas de una superficie. Teorema Egregium de Gauss".

    - La siguiente observación: "Los resultados de aprendizaje específicos (relacionados con los resultados de aprendizaje RA16 y RA17, ver el apartado 9 esta guía docente) son: •Saber calcular la longitud, la curvatura y la torsión de una curva. •Ser capaz de estudiar la diferenciabilidad de una aplicación y calcular su diferencial. •Saber calcular áreas, longitudes y ángulos en una superficie regular. •Saber calcular las distintas curvaturas de una superficie regular. •Reconocer la naturaleza de los puntos de una superficie en el espacio. •Conocer el teorema Egregium de Gauss."

    VINCULACIÓN CON LOS ODS

    Esta asignatura se encuentra vinculada de forma directa con el Objetivo de Desarrollo Sostenible 9 "Industria, Innovación e Infraestructura", en particular con el 95 "Aumento de la investigación científica, capacidad tecnológica".