Guía docente de la asignatura
(7284) FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES II

Curso académico 2026/2027

  1. Identificación

    1. De la asignatura

      Curso Académico
      2026/2027
      Titulación
      GRADO EN MATEMÁTICAS
      PROGRAMA ACADÉMICO DE SIMULTANEIDAD DE DOBLE TITULACIÓN CON ITINERARIO ESPECIFICO DE GRADO EN MATEMÁTICAS Y GRADO EN INGENIERÍA INFORMÁTICA
      PROGRAMA ACADÉMICO DE SIMULTANEIDAD DE DOBLE TITULACIÓN CON ITINERARIO ESPECÍFICO DE GRADO EN MATEMÁTICAS Y GRADO EN FÍSICA
      Nombre de la asignatura
      FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES II
      Código
      7284
      Curso
      SEGUNDO
      SEGUNDO
      SEGUNDO
      Carácter
      OBLIGATORIA
      Número de grupos
      3
      Créditos ECTS
      6.0
      Estimación del volumen de trabajo
      150.0
      150.0
      150.0
      Organización temporal
      1º Cuatrimestre
      1º Cuatrimestre
      1º Cuatrimestre
      Idiomas en que se imparte
      Español
      Curso Académico 2026/2027
      Titulación

      GRADO EN MATEMÁTICAS,

      PROGRAMA ACADÉMICO DE SIMULTANEIDAD DE DOBLE TITULACIÓN CON ITINERARIO ESPECIFICO DE GRADO EN MATEMÁTICAS Y GRADO EN INGENIERÍA INFORMÁTICA,

      PROGRAMA ACADÉMICO DE SIMULTANEIDAD DE DOBLE TITULACIÓN CON ITINERARIO ESPECÍFICO DE GRADO EN MATEMÁTICAS Y GRADO EN FÍSICA

      Nombre de la asignatura FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES II
      Código 7284
      Curso SEGUNDO SEGUNDO SEGUNDO
      Carácter OBLIGATORIA
      Número de grupos 3
      Créditos ECTS 6.0
      Estimación del volumen de trabajo 150.0 150.0 150.0
      Organización temporal 1º Cuatrimestre 1º Cuatrimestre 1º Cuatrimestre
      Idiomas en que se imparte Español
    2. Del profesorado: Equipo docente

      • ESQUEMBRE MARTINEZ, FRANCISCO Docente: GRUPO 1, GRUPO DTIE, GRUPO DTIE Coordinación de los grupos: GRUPO 1, GRUPO DTIE, GRUPO DTIE Coordinador de la asignatura

        Categoría

        CATEDRATICOS DE UNIVERSIDAD

        Área

        ANÁLISIS MATEMÁTICO

        Departamento

        MATEMÁTICAS

        Correo electrónico / Página web / Tutoría electrónica

        fem@um.es Tutoría electrónica: Sí

        Teléfono, horario y lugar de atención al alumnado

        Duración:
        C2
        Día:
        Miércoles
        Horario:
        12:00-13:00
        Lugar:
        868883534, Facultad de Matemáticas y Aulario General B1.1.008 (DESPACHO PROF. FRANCISCO ESQUEMBRE MARTÍNEZ 1.05)
        Observaciones:
        Presencialmente, previa cita.
        Duración:
        C2
        Día:
        Lunes
        Horario:
        12:00-13:00
        Lugar:
        868883534, Facultad de Matemáticas y Aulario General B1.1.008 (DESPACHO PROF. FRANCISCO ESQUEMBRE MARTÍNEZ 1.05)
        Observaciones:
        Presencialmente, previa cita.
        Duración:
        C2
        Día:
        Martes
        Horario:
        18:00-20:00
        Lugar:
        868883534, Facultad de Matemáticas y Aulario General B1.1.008 (DESPACHO PROF. FRANCISCO ESQUEMBRE MARTÍNEZ 1.05)
        Observaciones:
        A través de Videoclases, previa cita.
        Duración:
        C2
        Día:
        Jueves
        Horario:
        18:00-20:00
        Lugar:
        868883534, Facultad de Matemáticas y Aulario General B1.1.008 (DESPACHO PROF. FRANCISCO ESQUEMBRE MARTÍNEZ 1.05)
        Observaciones:
        A través de Videoclases, previa cita.
        Duración:
        C1
        Día:
        Jueves
        Horario:
        18:00-20:00
        Lugar:
        868883534, Facultad de Matemáticas y Aulario General B1.1.008 (DESPACHO PROF. FRANCISCO ESQUEMBRE MARTÍNEZ 1.05)
        Observaciones:
        A través de Videoclases, previa cita.
        Duración:
        C1
        Día:
        Martes
        Horario:
        18:00-20:00
        Lugar:
        868883534, Facultad de Matemáticas y Aulario General B1.1.008 (DESPACHO PROF. FRANCISCO ESQUEMBRE MARTÍNEZ 1.05)
        Observaciones:
        A través de Videoclases, previa cita.
      • AVILES LOPEZ, ANTONIO Docente: GRUPO 1, GRUPO DTIE, GRUPO DTIE Coordinación de los grupos:

        Categoría

        CATEDRATICOS DE UNIVERSIDAD

        Área

        ANÁLISIS MATEMÁTICO

        Departamento

        MATEMÁTICAS

        Correo electrónico / Página web / Tutoría electrónica

        avileslo@um.es Tutoría electrónica: No

        Teléfono, horario y lugar de atención al alumnado

        Duración:
        A
        Día:
        Martes
        Horario:
        09:00-18:00
        Lugar:
        868888420, Facultad de Matemáticas y Aulario General B1.-1.013
        Observaciones:
        Concertar cita previa.
        Duración:
        A
        Día:
        Miércoles
        Horario:
        09:00-18:00
        Lugar:
        868888420, Facultad de Matemáticas y Aulario General B1.-1.013
        Observaciones:
        Concertar cita previa.
        Duración:
        A
        Día:
        Lunes
        Horario:
        09:00-18:00
        Lugar:
        868888420, Facultad de Matemáticas y Aulario General B1.-1.013
        Observaciones:
        Concertar cita previa.
        Duración:
        A
        Día:
        Viernes
        Horario:
        09:00-18:00
        Lugar:
        868888420, Facultad de Matemáticas y Aulario General B1.-1.013
        Observaciones:
        Concertar cita previa
        Duración:
        A
        Día:
        Jueves
        Horario:
        09:00-18:00
        Lugar:
        868888420, Facultad de Matemáticas y Aulario General B1.-1.013
        Observaciones:
        Concertar cita previa
  2. Presentación

    La asignatura "Funciones de varias variables II" es una de las tres que componen la materia "Análisis Matemático en varias variables".

    Esta asignatura se encarga de la integración de funciones reales de varias variables. Se estudia la definición de la integral múltiple de Riemann, su interpretación geométrica, su cálculo efectivo y sus aplicaciones, sobre todo en dos y tres dimensiones. También se introduce la integral de Lebesgue, como extensión de la integral de Riemann que cubre mejor las necesidades del Análisis Matemático avanzado.

  3. Condiciones de acceso a la asignatura

    1. Incompatibilidades

      No constan

    2. Requisitos

      No constan

    3. Recomendaciones

      Es muy recomendable haber adquirido los conocimientos correspondientes a las asignatura de primer curso "Funciones de una variable real". En particular, el cálculo de derivadas y primitivas resulta fundamental y se necesitará para los ejercicios prácticos.

      Se recomienda familiaridad con curvas y regiones sencillas del plano, así como con superficies y cuerpos sencillos del espacio.

  4. Contenidos

    1. Teoría

      Tema 1: Definición axiomática de área y volumen. Relación con integrales de funciones de una variable

      Definición axiomática de área.

      Área e integral de funciones de una variable.

      Definición axiomática de volumen. Principio de Cavalieri.

      Volumen e integral de funciones de una variable.

      Tema 2: Integral de Riemann de funciones de varias variables

      Integral de funciones escalonadas de dos variables. Propiedades.

      Integral de Riemann. Propiedades. Teorema de Fubini. Interpretación geométrica.

      Integración de funciones continuas.

      Aplicaciones de la integral doble.

      Cambio de variables.

      Integrales en dimensiones superiores.

      Tema 3: Funciones definidas mediante integrales. Integrales impropias.

      Funciones definidas mediante integrales.

      Continuidad, derivación e integración respecto del parámetro.

      Integrales impropias.

      Tema 4: Medida e integral de Lebesgue

      Sigma-álgebras y medidas.

      Medida exterior de Lebesgue y medida de Lebesgue.

      Integral de Lebesgue. Teoremas fundamentales.

    2. Prácticas

      No constan

  5. Actividades Formativas

    Actividad Formativa Metodología Horas Presencialidad
    AF1: Exposición teórico-práctica 34.0 100.0
    AF2: Resolución de ejercicios y problemas en grupo completo 5.0 100.0
    AF3: Resolución de ejercicios y problemas en grupos reducidos 15.0 100.0
    AF8: Trabajo autónomo del estudiante 90.0 0.0
    AF10: Realización de pruebas de evaluación 6.0 100.0
    Totales 150,00

  6. Horario de la asignatura

    https://www.um.es/web/estudios/grados/matematicas/2026-27#horarios

  7. Sistemas de Evaluación

    Identificador Denominación del instrumento de evaluación Criterios de Valoración Ponderación
    SE1 Examen global teórico-práctico

    Se realizará un examen final que constará de ejercicios escritos de carácter teórico-práctico.

    75.0
    SE3 Valoración del progreso

    En fechas que se indicarán con antelación de al menos una semana, se realizarán - en horario de clase - dos sesiones de trabajos consistentes en resolver problemas prácticos. Estos trabajos se entregarán al final de la clase.

    La entrega de al menos uno de estos trabajos es obligatoria. El estudiante obtendrá la nota del mejor de los trabajos que entregue. En caso de no entregar ninguno, obtendrá un 0 como calificación de este instrumento de evaluación.

    25.0

  8. Fechas de exámenes

    https://www.um.es/web/estudios/grados/matematicas/2026-27#examenes

  9. Resultados del Aprendizaje

    • RA01 (): Utilizar con rigor el lenguaje matemático con el fin de desarrollar argumentos lógicos.
    • RA02 (): Comunicar correctamente, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos e ideas matemáticas.
    • RA04 (): Comprobar con demostraciones o refutar con contraejemplos propiedades de objetos matemáticos.
    • RA05 (): Desarrollar una actitud (auto)crítica ante los razonamientos matemáticos, en particular identificando errores en razonamientos que son incorrectos.
    • RA06 (): Resolver problemas y cuestiones prácticas del ámbito de las matemáticas aplicando los conocimientos teóricos.
    • RA10 (): Conocer los fundamentos teóricos del análisis real de una y varias variables.
    • RA11 (): Aplicar los conocimientos de análisis real de una y varias variables a la resolución de problemas.

  10. Bibliografía

  11. Observaciones

    NECESIDADES EDUCATIVAS ESPECIALES

    Aquellos estudiantes con discapacidad o necesidades educativas especiales podrán dirigirse al Servicio de Atención a la Diversidad y Voluntariado (ADYV - https://www.um.es/adyv) para recibir orientación sobre un mejor aprovechamiento de su proceso formativo y, en su caso, la adopción de medidas de equiparación y de mejora para la inclusión, en virtud de la Resolución Rectoral R-358/2016. El tratamiento de la información sobre este alumnado, en cumplimiento con la LOPD, es de estricta confidencialidad.

    EVALUACIÓN

    En el procedimiento de evaluación resultarán de aplicación el artículo 135.1.v) de los Estatutos de la Universidad de Murcia, el artículo 8.6 del Reglamento de Evaluación de Estudiantes (REVA) y la instrucción SG 18/2026 del secretario general de la Universidad de Murcia que interpreta estas normas, disponible en este enlace: https://sede.um.es/sede/documento/normativa/instruccion-del-secretario-general-sg-18-2026-sobre-la-interpretacion-y-aplicacion-del-art-135-1-v-estatutos-umu/24199.pdf

    Se recuerda asimismo que el artículo 22.1 del Reglamento de Evaluación de Estudiantes (REVA) estipula que "el o la estudiante que se valga de conductas fraudulentas, incluida la indebida atribución de identidad o autoría, o esté en posesión de medios o instrumentos que faciliten dichas conductas, obtendrá la calificación de cero en el procedimiento de evaluación y, en su caso, podrá ser objeto de sanción, previa apertura de expediente disciplinario".

    OBSERVACIONES DEL EQUIPO DOCENTE

    Contenidos y resultados de aprendizaje específicos:La ficha de esta asignatura en la memoria verificada del título incluye:

    - La siguiente lista de contenidos: "Introducción a la teoría de la medida, sigma álgebras, medida de Lebesgue. Integral de Lebesgue en R^n. Teoremas de convergencia. Integrales de funciones reales de varias variables reales. Teoremas

    de Fubini y de cambio de variables. Cálculo de integrales múltiples. Aplicaciones. Integrales dependientes de un parámetro."

    - La siguiente observación: "Los resultados de aprendizaje específicos (relacionados con los resultados de aprendizaje RA10 y RA11, ver el apartado 9 esta guía docente) son:

    • Conocer los fundamentos de la integral de Lebesgue en R^n y del cálculo de integrales múltiples, así como su relación con la integral de Riemann.

    • Conocer y saber aplicar los teoremas de convergencia, Fubini y cambio de variable.

    • Conocer y saber utilizar diversos sistemas de coordenadas curvilíneas para calcular integrales múltiples.

    • Ser capaz de plantear y resolver problemas clásicos de naturaleza geométrica o física donde intervenga el cálculo de integrales múltiples.

    • Conocer y utilizar los resultados básicos sobre continuidad y derivabilidad de funciones definidas mediante integrales."

    En la convocatoria que sigue a la docencia (Convocatoria I), la calificación final del alumno será el resultado de todas las actividades, según la ponderación que se recoge en el apartado de evaluación. Para aprobar la asignatura, es necesario obtener una calificación global igual o superior a 5 (sobre 10).

    En las restantes convocatorias (Convocatorias II y III) el/la estudiante podrá conservar su nota de SE2 o solicitar que las competencias correspondientes se vuelvan a evaluar el día del examen. Para ello deberá solicitarlo, como máximo, 7 días antes de la realización del examen, a través de mensaje en el AV, al profesor responsable. En caso de no hacerlo, se entenderá que mantiene su nota SE2. El examen de estas convocatorias contendrá preguntas o cuestiones que evalúen las competencias correspondientes y que permitan obtener la máxima calificación en el examen.