Guía docente de la asignatura
(6362) TEORÍA DE NÚMEROS

Curso académico 2024/2025

  1. Identificación

    1. De la asignatura

      2. Curso Académico
      2024/2025
      Titulación
      MÁSTER UNIVERSITARIO EN MATEMÁTICA AVANZADA
      Programa Académico de Simultaneidad de Doble Titulación con Itinerario específico de Máster Universitario en Formación del Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional, Enseñanzas de Idiomas y Enseñanzas Artísticas (Especialidad Matemáticas) y Máster Universitario en Matemática Avanzada
      Nombre de la asignatura
      TEORÍA DE NÚMEROS
      Código
      6362
      Curso
      PRIMERO
      PRIMERO
      Carácter
      OPTATIVA
      Número de grupos
      2
      Créditos ECTS
      6.0
      Estimación del volumen de trabajo
      150.0
      150.0
      Organización temporal
      1º Cuatrimestre
      1º Cuatrimestre
      Idiomas en que se imparte
      Inglés
      Español
      Curso Académico 2024/2025
      Titulación

      MÁSTER UNIVERSITARIO EN MATEMÁTICA AVANZADA,

      Programa Académico de Simultaneidad de Doble Titulación con Itinerario específico de Máster Universitario en Formación del Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional, Enseñanzas de Idiomas y Enseñanzas Artísticas (Especialidad Matemáticas) y Máster Universitario en Matemática Avanzada
      Nombre de la asignatura TEORÍA DE NÚMEROS
      Código 6362
      Curso PRIMERO PRIMERO
      Carácter OPTATIVA
      Número de grupos 2
      Créditos ECTS 6.0
      Estimación del volumen de trabajo 150.0 150.0
      Organización temporal 1º Cuatrimestre 1º Cuatrimestre
      Idiomas en que se imparte Inglés, Español

    2. Del profesorado: Equipo docente

      • BERNAL BUITRAGO, JOSE JOAQUIN Docente: GRUPO 1, PCEO PROF+MATEMÁTICAS Coordinación de los grupos: GRUPO 1, PCEO PROF+MATEMÁTICAS Coordinador de la asignatura

        Categoría

        PROFESOR PERMANENTE LABORAL

        Área

        ÁLGEBRA

        Departamento

        MATEMÁTICAS

        Correo electrónico / Página web / Tutoría electrónica

        josejoaquin.bernal@um.es Tutoría electrónica: Sí

        Teléfono, horario y lugar de atención al alumnado

        Duración:
        A         		Día:
        Lunes         		Horario:
        13:00-15:00         		Lugar:
        (Sin Extensión), Facultad de Matemáticas y Aulario General B1.1.007
        Observaciones:
        No consta
        Duración:
        A         		Día:
        Viernes         		Horario:
        13:00-14:00         		Lugar:
        (Sin Extensión), Facultad de Matemáticas y Aulario General B1.1.007
        Observaciones:
        No consta
        Duración:
        A         		Día:
        Jueves         		Horario:
        13:00-14:00         		Lugar:
        (Sin Extensión), Facultad de Matemáticas y Aulario General B1.1.007
        Observaciones:
        No consta
        Duración:
        A         		Día:
        Miércoles         		Horario:
        13:00-14:00         		Lugar:
        (Sin Extensión), Facultad de Matemáticas y Aulario General B1.1.007
        Observaciones:
        No consta
        Duración:
        A         		Día:
        Martes         		Horario:
        13:00-14:00         		Lugar:
        (Sin Extensión), Facultad de Matemáticas y Aulario General B1.1.007
        Observaciones:
        No consta

  2. Presentación

    3. En esta asignatura, partiendo de los conocimientos algebraicos adquiridos en cursos anteriores, se realizará una introducción a algunos de los métodos de la teoría elemental de números y sus aplicaciones, en paricular al campo de la Criptología

  3. Condiciones de acceso a la asignatura

    1. Incompatibilidades

      2. No constan

    2. Requisitos

      3. No constan

    3. Recomendaciones

      4. Las propias del Máster de Matemática Avanzada No obstante, se espera que el alumno esté familiarizado con los fundamentos del álgebra lineal y las estructuras algebraicas A título indicativo, entendemos por contenidos básicos algunos de los tratados en las siguientes asignaturas del plan de estudios del Grado en Matemáticas de la Universidad de Murcia "Álgebra Lineal", "Ampliación de Álgebra Lineal y Geometría", "Grupos y Anillos" y "Ecuaciones Algebraicas"

  4. Competencias

    1. Competencias básicas

      • CB6: Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación
      • CB7: Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio
      • CB8: Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios
      • CB9: Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades
      • CB10: Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.

    2. Competencias de la titulación

      • CG1: Ser capaz de aplicar técnicas matemáticas de investigación en diversos campos, tanto de matemática fundamental como aplicada.
      • CG2: Ser capaz de aplicar técnicas matemáticas en diversas actividades profesionales.
      • CG3: Ser capaz de aplicar técnicas matemáticas en el desarrollo de proyectos de I+D+i.
      • CG4: Ser capaz de aplicar los conocimientos adquiridos para resolver problemas en entornos nuevos o poco conocidos tanto en matemáticas como en contextos más generales o multidisciplinares que estén relacionados con su especialidad. (Meces/BOE (a)).
      • CG5: Ser capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios y conjeturas a partir de información incompleta o limitada en la aplicación de técnicas y conocimientos matemáticos. (Meces/BOE (b)).
      • CG6: Saber comunicar conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades. (Meces/BOE (c))
      • CG7: Poseer habilidades de aprendizaje que permitan continuar futuros estudios de forma autodirigido o autónoma. (Meces/BOE (d))
      • CG8: Ser capaz de trabajar en grupo y en equipos multidisciplinares.
      • CE1: Poseer conocimientos teóricos y prácticos de un área de conocimiento de matemáticas para poder acceder a los estudios de doctorado y realizar una tesis doctoral.
      • CE2: Ser capaz de leer críticamente trabajos especializados o de investigación e incorporar los resultados a su trabajo.
      • CE3: Ser capaz de abstraer y analizar información sobre diversos procedimientos, y de realizar razonamientos lógicos e identificar errores.
      • CE4: Ser capaz de realizar transferencia de resultados matemáticos a otras disciplinas y actividades.
      • CE5: Ser capaz de modelar matemáticamente problemas teóricos o reales.
      • CE6: Conocer técnicas de resolución y ser capaz de idear procedimientos de resolución de los modelos matemáticos objetos de estudio.
      • CE7: Manejar las herramientas informáticas que sirven de ayuda a la resolución de los problemas objeto de estudio.

    3. Competencias transversales y de materia

      No constan

  5. Contenidos

    1. Teoría

      2. Bloque 1: TEORÍA ELEMENTAL DE NÚMEROS

      Tema 1: Preliminares: El conjunto de los números naturales.

      El conjunto de los números naturales. Principio de inducción. Principio de buena ordenación. (Ver Observaciones)

      Tema 2: El anillo de los números enteros. Factorización única.

      Teorema fundamental de la aritmética. Factorización única en K[X].

      Tema 3: Congruencias en Z.

      El Teorema chino de los restos La estructura de U(Z/nZ) El pequeño Teorema de Fermat El Teorema de Wilson. Ecuaciones diofánticas.

      Tema 4: Funciones aritméticas.

      Suma y número de divisores Fórmula de inversión de Moebius

      Tema 5: Estructura del grupo de unidades en Zn.

      Raíces primitivas de la unidad módulo n. Estructura del grupo Un.

      Tema 6: Ley de reciprocidad cuadrática.

      Criterio de Euler. Símbolo de Legendre. Lema de Gauss. Reciprocidad cuadrática.

      Bloque 2: CRIPTOLOGÍA

      Tema 1: Criptografía de clave privada.

      Introducción a los criptosistemas esenciales de la Criptografía de clave privada: César, Vigenere,...

      Tema 2: Complejidad algorítmica.

      Complejidad y tiempo de cálculo. Problemas P, NP y NP completos.

      Tema 3: Test de primalidad. Algoritmos de factorización.

      Distribución de los números primos. Test de primalidad y algoritmos de factorización avanzados.

      Tema 4: Criptografía de clave pública.

      Protocolo de Diffie-Hellman, criptosistema RSA, criptosistema de Massey-Omura, criptosistema de El Gammal,...

      Tema 4: Curvas elípticas.

      El grupo de una curva elíptica. Teorema de Hasse. Algoritmos con curvas elípticas. (Ver observaciones)

    2. Prácticas

      No constan

  6. Actividades Formativas

    7. Actividad Formativa Metodología Horas Presencialidad
    AF1: AF1: Exposición teórica/Clase magistral: exposición teórica, clase magistral, proyección, etc., dirigida al gran grupo, con independencia de que su contenido sea teórico o práctico. Junto a la exposición de conocimientos, en las clases se plantean cuestiones, se aclaran dudas, se realizan ejemplificaciones, se establecen relaciones con las diferentes actividades prácticas que se realizan y se orienta la búsqueda de información. 20.0 100.0
    AF2: AF2: Clases Prácticas/resolución de problemas: Actividades prácticas de ejercicios y resolución de problemas, estudio de casos, aprendizaje orientado a proyectos, exposición y análisis de trabajos, debates, simulaciones, etc. Suponen la realización de tareas por parte de los alumnos, dirigidas y supervisadas por el profesor, con independencia de que en el aula se realicen individualmente o en grupos reducidos. 16.0 100.0
    AF3: AF3: Elaboración y exposición de trabajos teóricos-prácticos: Exposiciones de trabajos de los alumnos de profundización en una temática concreta, que puede integrar contenidos teóricos y prácticos, realizado en grupos reducidos y supervisado por el profesor, concluyendo con la elaboración y presentación escrita de un informe que, en algunos casos, puede hacerse público mediante exposición oral por parte de los alumnos y debate. 8.0 100.0
    AF4: AF4: Tutoría o trabajos dirigidos: Dirigir el trabajo de los alumnos cuando están fuera del aula y disponer de un sistema de orientación, tutoría y seguimiento de esas tareas. Puede ser individual o en grupos pequeños. 4.0 100.0
    AF9: AF9: Trabajo autónomo del alumno: Actividades individuales de los alumnos supervisadas o no por el profesor. 102.0 0.0
    Totales 150,00

  7. Horario de la asignatura

    8. https://www.um.es/web/estudios/masteres/matematica-avanzada/2024-25#horarios

  8. Sistemas de Evaluación

    9. Identificador Denominación del instrumento de evaluación Criterios de Valoración Ponderación
    SE1 SE1: Resolución de problemas/Casos prácticos: Los profesores propondrán problemas/casos prácticos para que sean resueltos por los alumnos (individualmente o en grupo) explicando las soluciones de forma oral y/o escrita.

    A lo largo del curso el profesor indicará a los alumnos la resolución de algunos problemas y propondrá otros tantos para que cada alumno elija un mínimo número de ellos El alumno deberá mostrar autonomía seleccionando por su cuenta los problemas entre estos últimos Con la resolución de todos estos problemas el alumno elaborará un dossier del trabajo realizado durante el desarrollo de la asignatura que será entregado al profesor al final del periodo lectivo para su valoración Cada uno de los alumnos será citado individualmente para responder preguntas del profesor sobre el dossier presentado (SE7)

    Para la valoración del trabajo se tendrán en cuenta la selección de los problemas resueltos, el planteamiento de las soluciones, la correcta utilización de los conceptos y herramientas matemáticos utilizados, la correción, rigor y claridad de la explicación de las soluciones y su interpretación

    		 55.0
    SE2 SE2: Exposición y realización de trabajos: Realización de trabajos, informes y exposición de los resultados obtenidos y los procedimientos usados, así como respuestas razonadas a las posibles cuestiones que se plantee sobre el mismo.

    Todos los alumnos deberán realizar una exposición al profesor y al resto de los alumnos, de una parte de la asignatura que será asignada a cada uno de ellos por el profesor Durante la exposición el alumno deberá responder a las preguntas planteadas por el profesor y el resto de alumnos

    Para su valoración se tendrá en cuenta la corrección, rigor y claridad en la exposición, la correcta utilización de los conceptos y herramientas matemáticos utilizados, la interpretación de los conceptos y resultados expuestos y la aportación personal del alumno en la organización de la materia expuesta

    		 25.0
    SE3 SE3: Pruebas escritas (exámenes): Pruebas objetivas, de desarrollo, de respuesta corta, de ejecución de tareas, de escala de actitudes realizadas por los alumnos para mostrar los conocimientos teóricos y prácticos adquiridos.

    No se utilizará este método de evaluación

    		 0.0
    SE4 SE4: Trabajos del alumno: Trabajos escritos con independencia de que se realicen individual o grupalmente.

    El alumno que lo desee puede añadir a su dossier trabajos escritos de ampliación de la materia explicada durante el curso Esta parte es opcional y compensatoria de la resolución de problemas y se añadirá al dossier mencionado en (SE1)

    Para su valoración se tendrá en cuenta la corrección, rigor y claridad en la exposición, la correcta utilización de los conceptos y herramientas matemáticos utilizados, la interpretación de los conceptos y resultados expuestos y la aportación personal del alumno en la organización de la materia expuesta

    		 0.0
    SE5 SE5: Asistencia y participación en clase: Registros de participación, de realización de actividades, cumplimiento de plazos, participación en clase, asistencia a clases y prácticas

    Se tendrá en cuenta la participación activa en clase y, en especial, la asistencia y participación en las sesiones de exposición (ver Observaciones)

    		 10.0
    SE6 SE6: Examen práctico: Actividades prácticas y/o de laboratorio de computadores para mostrar el conocimiento adquirido en la disciplina correspondiente

    Este método se considera complementario al SE1 en el sentido de que algunas de las actividades prácticas realizadas por los alumnos se evaluarán conjuntamente con los problemas Los criterios de valoración son los mismos, por tanto, que en SE1

    		 0.0
    SE7 SE7: Entrevista: Actividades individuales destinadas a comprobar la autoría de trabajos presentados, los conocimientos adquiridos, la destreza en procedimientos prácticos

    El alumno deberá entregar un dossier con todo el trabajo realizado durante el curso (problemas, trabajos, etc) que será evaluado por el profesor y discutido con el alumno en una entrevista en la que éste deberá responder a las preguntas planteadas por el profesor

    Para su valoración se tendrá en cuenta la corrección, rigor y claridad de las respuestas proporcionadas por el alumno a las preguntas planteadas por el profesor y la correcta utilización de los conceptos y herramientas matemáticos utilizados

    La valoración de este instrumento de evaluación se hará de forma conjunta con SE1, pues la calificación del dossier de ejercicios presentado incluirá las conclusiones extraidas de la entrevista

    		 10.0

  9. Fechas de exámenes

    10. https://www.um.es/web/estudios/masteres/matematica-avanzada/2024-25#examenes

  10. Resultados del Aprendizaje

    11. - Conocer las propiedades elementales del anillo de enteros Z, así como las principales aplicaciones de la factorización en producto de primos

    - Conocer las propiedades elementales del anillo de polinomios k[x], con k un cuerpo

    - Manejar la aritmética y las propiedades esenciales de las congruencias en Z

    - Conocer y manejar algunas de las funciones aritméticas más relevantes

    - Conocer los conceptos elementales de la criptografía tanto simétrica como asimétrica

  11. Bibliografía

  12. Observaciones

    13. Puesto que el perfil y la formación de los alumnos que finalmente entren en la asignatura puede ser muy diverso, se considera necesaria la inclusión de temas básicos de introducción a la Teoría Elemental de Números correspondientes al Bloque I. Asimismo, una vez conocidos tanto el perfil de los alumnos como su nivel de conocimientos previos en este campo, serán estos aspectos los que marquen el grado de profundidad con que se aborden los temas del Bloque II, en particular, el último de ellos, referente a curvas elípticas.

    Modalidad semipresencial:Los alumnos en modalidad semipresencial podrán asistir, previo acuerdo con el profesor, a todas las actividades por videoconferencia zoom. Además, se proporcionará el material necesario para poder preparar la asignatura de forma parcialmente autónoma, con asistencia del profesorado mediante tutorías presenciales o a distancia. Por otra parte, será obligatoria la asistencia tanto para la realización de la exposición propia (Instrumento SE2) como para la del resto de compañeros, asimismo será necesaria la asistencia para la entrevista con el profesor (Instrumento SE7).

    En esta modalidad y en las convocatorias extraordinarias el instrumento de evaluación SE5 no será evaluado y su porcentaje pasará a considerarse dentro de SE1, el cual llegaría al 65 %

    Utilización de medios fraudulentos.Se aplicará el Artículo 23 (Utilización de medios fraudulentos) del Reglamento de convocatoria, evaluación y actas (Aprobado por el Consejo de Gobierno de la Universidad de Murcia en sesión de 12 de abril de 2011), a pesar de su desafortunada redacción: "El estudiante que se valga o que realice conductas de las que pueda inferirse que pretende valerse de conductas, medios o instrumentos fraudulentos en la celebración de la prueba, incluida la indebida atribución de identidad o autoría, se le podrá suspender y, en su caso, podrá ser objeto de sanción previa apertura de expediente disciplinario"

    Idioma El inglés es el idioma de comunicación científica Saber escribir, leer y hablar en inglés es esencial para comprender, aprender y comunicar la Ciencia, El material de referencia, tanto para la realización de los ejercicios como para la preparación de las exposiciones, estará escrito en inglés

    NECESIDADES EDUCATIVAS ESPECIALES

    Aquellos estudiantes con discapacidad o necesidades educativas especiales podrán dirigirse al Servicio de Atención a la Diversidad y Voluntariado (ADYV - https://www.um.es/adyv) para recibir orientación sobre un mejor aprovechamiento de su proceso formativo y, en su caso, la adopción de medidas de equiparación y de mejora para la inclusión, en virtud de la Resolución Rectoral R-358/2016. El tratamiento de la información sobre este alumnado, en cumplimiento con la LOPD, es de estricta confidencialidad.

    REGLAMENTO DE EVALUACIÓN DE ESTUDIANTES

    El artículo 8.6 del Reglamento de Evaluación de Estudiantes (REVA) prevé que "salvo en el caso de actividades definidas como obligatorias en la guía docente, si el o la estudiante no puede seguir el proceso de evaluación continua por circunstancias sobrevenidas debidamente justificadas, tendrá derecho a realizar una prueba global".

    Se recuerda asimismo que el artículo 22.1 del Reglamento de Evaluación de Estudiantes (REVA) estipula que "el o la estudiante que se valga de conductas fraudulentas, incluida la indebida atribución de identidad o autoría, o esté en posesión de medios o instrumentos que faciliten dichas conductas, obtendrá la calificación de cero en el procedimiento de evaluación y, en su caso, podrá ser objeto de sanción, previa apertura de expediente disciplinario".